Question

已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=（n+1）（

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）ⁿ（n∈N）．試問該數(shù)列{a_n}有沒有最大項(xiàng)？若有，求出最大項(xiàng)和最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；若沒有，說明理由．

Answer 1

分析：要想判斷一個(gè)數(shù)列有無最大項(xiàng)，可以判斷數(shù)列的單調(diào)性，如果數(shù)列的前n項(xiàng)是遞增的，從n+1項(xiàng)開始是遞減的，則a_n（a_n+1）即為數(shù)列的最大項(xiàng)，故我們可以判斷構(gòu)造a_n+1-a_n的表達(dá)式，然后進(jìn)行分類討論，給出最終的結(jié)論．

解答：解：∵a_n+1-a_n=（n+2）（

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）ⁿ⁺¹-（n+1）（

10

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）ⁿ
=（

10

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）ⁿ•

9-n

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，
∴當(dāng)n＜9時(shí)，a_n+1-a_n＞0，即a_n+1＞a_n；
當(dāng)n=9時(shí)，a_n+1-a_n=0，即a_n+1=a_n；
當(dāng)n＞9時(shí)，a_n+1-a_n＜0，即a_n+1＜a_n；
故a₁＜a₂＜a₃＜＜a₉=a₁₀＞a₁₁＞a₁₂＞…．
∴數(shù)列{a_n}有最大項(xiàng)a₉或a₁₀，
其值為10•（

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）⁹，其項(xiàng)數(shù)為9或10．

點(diǎn)評：判斷數(shù)列的最大（小）項(xiàng)，即判斷a_n+1-a_n的符號在何處變號，
若n＜K時(shí)，a_n+1-a_n＞0成立，n≥K時(shí)，a_n+1-a_n＜0成立，則a_K即為數(shù)列中的最小項(xiàng)；
若n＜K時(shí)，a_n+1-a_n＜0成立，n≥K時(shí)，a_n+1-a_n＞0成立，則a_K即為數(shù)列中的最大項(xiàng)．