Question

（2013•鄭州一模）已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，2bcosc=2a-c
（I）求 B；
（II）若△ABC的面積為

3

，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據正弦定理結合sinA=sin（B+C），化簡整理得2cosBsinC=sinC，結合sinC＞0解出cosB=

1

2

，從而可得B=

π

3

．
（2）由正弦定理的面積公式，得

1

2

acsinB=

3

，從而解出ac=4，再結合基本不等式求最值和三角形兩邊之和大于第三邊，即可得到b的取值范圍．

解答：解：（1）由正弦定理，得2sinBcosC=2sinA-sinC，----（2分）
在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴2cosBsinC=sinC，
又∵C是三角形的內角，可得sinC＞0，∴2cosB=1，可得cosB=

1

2

，
∵B是三角形的內角，B∈（0，π），∴B=

π

3

．-----（6分）
（2）∵S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

，B=

π

3

∴

3

4

ac=

3

，解之得ac=4，----（8分）
由余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac=4，（當且僅當a=c=2時，“=”成立）
∴當且僅當a=c=2時，b的最小值為2．----（12分）
綜上所述，邊b的取值范圍為[2，+∞）----（13分）

點評：本題給出三角形的邊角關系，求角B的大小，并在已知面積的情況下求邊b的取值范圍．著重考查了利用正余弦定理解三角形、三角形的面積公式和三角恒等變換等知識，屬于中檔題．