Question

（1）選修4-2：矩陣與變換
二階矩陣M對應的變換將點（1，-1）與（-2，1）分別變換成點（-1，-1）與（0，-2）．
（Ⅰ）求矩陣M的逆矩陣M^-1；
（Ⅱ）設直線l在變換M作用下得到了直線m：2x-y=4，求l的方程．
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
已知直線的極坐標方程為ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

，圓M的參數方程為

x=2cosθ y=-2+2sinθ

（其中θ為參數）．
（Ⅰ）將直線的極坐標方程化為直角坐標方程；
（Ⅱ）求圓M上的點到直線的距離的最小值．
（3）選修4一5：不等式選講
已知函數f（x）=|x-1|+|x+3|．
（Ⅰ）求x的取值范圍，使f（x）為常數函數；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）-a≤0有解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）（I）M=

a b c d

，由已知二階矩陣M對應的變換將點（1，-1）與（-2，1）分別變換成點（-1，-1）與（0，-2）．可構造關于a，b，c，d的四元一次方程組，解方程組可得矩陣M，進而得到矩陣M的逆矩陣M^-1；
（Ⅱ）由（I）中矩陣M及直線l在變換M作用下得到了直線m：2x-y=4，構造關于x，y的關系式，整理后可得l的方程．
（2）（I）由已知直線的極坐標方程為ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

，根據y=ρsinθ，x=ρcosθ可得直線方程，根據圓M的參數方程為

x=2cosθ y=-2+2sinθ

利用三角函數平方關系，消去參數，可得圓的方程．
（II）根據（I）中所得直線與圓的方程，將圓心坐標及直線方程代入點到直線距離公式，求出圓心到直線的距離，減掉圓半徑，可得圓上點到直線的最近距離．
（3）（I）利用零點分段法，可將函數的解析式化為一個分段函數的形式，進而得到f（x）為常數函數時，x的取值范圍
（II）分析函數的值域，進而根據關于x的不等式f（x）-a≤0有解，a不小于函數最大值，可得答案．

解答：（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換
解：（Ⅰ）設M=

a b c d

，則有

a b c d

1 -1

=

-1 -1

，

a b c d

-2 1

=

0 -2

，
所以

a-b=-1 c-d=-1

，且

-2a+b=0 -2c+d=-2

，
解得

a=1 b=2 c=3 d=4

所以M=

1 2 3 4

，從而|M|=-2，
從而M^-1=

-2 3 2

（Ⅱ）因為

x′ y′

=

1 2 3 4

x y

=

x+2y 3x+4y

且m：2x'-y'=4，所以2（x+2y）-（3x+4y）=4，
即x+4=0，這就是直線l的方程
（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標系與參數方程
解：（Ⅰ）∵ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

∴

2

2

(ρsinθ+ρcosθ)=

2

2

，∴ρsinθ+ρcosθ=1．
所以，該直線的直角坐標方程為：x+y-1=0．
（Ⅱ）圓M的普通方程為：x²+（y+2）²=4
圓心M（0，-2）到直線x+y-1=0的距離d=

|0-2-1|

2

=

3 2

2

．
所以，圓M上的點到直線的距離的最小值為

3 2

2

-2．
（3）（本小題滿分7分） 選修4一5：不等式選講
解：（Ⅰ）f（x）=|x-1|+|x+3|=

-2x-2，x＜-3 4，-3≤x≤1 2x+2，x＞1

則當x∈[-3，1]時，f（x）為常函數．                 
（Ⅱ）法一：畫圖，由（1）得函數f（x）的最小值為4，
法二：|x-1|+|x+3|≥|x-1-（x+3）|；
∴|x-1|+|x+3|≥4，
等號當且僅當x∈[-3，1]時成立．
得函數f（x）的最小值為4，則實數a的取值范圍為a≥4．

點評：本題是選修三選一，（1）的關鍵是熟練掌握矩陣運算公式，（2）的關系是將極坐標方程和參數方程轉化為一般方程，（3）的關鍵是用零點分段法，化簡函數的解析式．