Question

已知函數(shù)f（x）在實數(shù)集R上具有下列性質(zhì)：①f（x+1）是偶函數(shù)，②f（x+2）=-f（x），③當(dāng)1≤x₁＜x₂≤3時，（f（x₂）-f（x₁））•（x₂-x₁）＜0，則f（2011）、f（2012）、f（2013）的大小關(guān)系為（　　）

Answer 1

分析：由①得f（-x+1）=f（x+1）；由②可求得f（x）的周期；由③可判斷f（x）在[1，3]上的單調(diào)性；運用函數(shù)周期性及f（-x+1）=f（x+1）可把f（2011）、f（2012）、f（2013）轉(zhuǎn)化到區(qū)間[1，3]上處理，再利用單調(diào)性即可作出比較．

解答：解：由②得，f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），所以f（x）為以4為周期的函數(shù)；
由③知：f（x）在[1，3]上為減函數(shù)；
由①得，f（-x+1）=f（x+1），
所以f（2011）=f（4×502+3）=f（3），f（2012）=f（4×503）=f（0）=f（-1+1）=f（1+1）=f（2），f（2013）=f（4×503+1）=f（1），
因為f（x）在[1，3]上為減函數(shù)，所以f（1）＞f（2）＞f（3），即f（2013）＞f（2012）＞f（2011），
故選D．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性及其應(yīng)用，準確理解相關(guān)定義及其變形是解決本題的基礎(chǔ)，解決本題的基本思路利用性質(zhì)把問題轉(zhuǎn)化到區(qū)間[1，3]上解決．