Question

（本小題滿分10分）
已知點的序列A_n（x_n，0），n∈Ｎ^*，其中x_l＝0，x₂＝a（a＞0），A₃是線段A_lA₂的中點，A₄是線段A₂A₃的中點，…，A_n是線段A_n－2A_n－1的中點，…．
（1）寫出x_n與x_n－1、x_n－2之間的關系式（n≥３）；
（2）設a_n＝x_n＋1－x_n，計算a_l，a₂，a₃，由此推測數列｛a_n｝的通項公式，并加以證明．

Answer 1

解：（1）當n≥3時，x_n=．…………………4分
（2）a₁=x₂－x₁=a，a₂=x₃－x₂=－x₂=－（x₂－x₁）=－a，
a₃=x₄－x₃=－x₃=－（x₃－x₂）=－（－a）=a，
由此推測：a_n=（－）^n－1a（n∈N^*）．…………………7分
證明如下：因為a₁=a＞0，且a_n=x_n+1－x_n=－x_n==－（x_n－x_n－1）
=－a_n－1（n≥2），所a_n=（－）^n－1a．…………………10分

略