Question

直線l：y=kx+1與雙曲線C：2x²-y²=1的右支交于不同的兩點A、B．
（I）求實數k的取值范圍；
（II）是否存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x²-y²=1后，由題意知

k2-2≠0 △=(2k)2-8(k2-2)＞0 - 2k k2-2 ＞0 2 k2-2 ＞0.

，由此可知實數k的取值范圍．

（Ⅱ）設A、B兩點的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由題意得

x1+x2= 2k 2-k2 x2•x2= 2 k2-2 .

，由此入手可求出k的值．

解答：解：（Ⅰ）將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x²-y²=1后，整理得（k²-2）x²+2kx+2=0．①
依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點，故

k2-2≠0 △=(2k)2-8(k2-2)＞0 - 2k k2-2 ＞0 2 k2-2 ＞0.

解得k的取值范圍是-2＜k＜-

2

．
（Ⅱ）設A、B兩點的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），則由①式得

x1+x2= 2k 2-k2 x1•x2= 2 k2-2 .

②
假設存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F（c，0）．
則由FA⊥FB得：（x₁-c）（x₂-c）+y₁y₂=0．
即（x₁-c）（x₂-c）+（kx₁+1）（kx₂+1）=0．
整理得（k²+1）x₁x₂+（k-c）（x₁+x₂）+c²+1=0．③
把②式及c=

6

2

代入③式化簡得5k2+2

6

k-6=0．
解得k=-

6+ 6

5

或k=

6- 6

5

∉(-2，-

2

)(舍去)
可知k=-

6+ 6

5

使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點．

點評：本題主要考查直線、雙曲線的方程和性質，曲線與方程的關系，及其綜合應用能力．