Question

已知拋物線C：y²=4x，直線l：y=kx+b與C交于A，B兩點，O為坐標原點．
（1）當k=1，且直線l過拋物線C的焦點時，求|AB|的值；
（2）當直線OA，OB的傾斜角之和為45°時，求k，b之間滿足的關系式，并證明直線l過定點．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線方程求得焦點坐標，根據點斜式求得直線l的方程與拋物線方程聯立，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂的值，進而根據兩點間的距離公式求得|AB|的值；
（2）把直線方程與拋物線方程聯立消去x，根據韋達定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，設直線OA，OB的傾斜角分別為α，β，斜率分別為k₁，k₂，依題意可知α+β=45°，進而根據正切的兩腳和公式可知

k1+k2

1-k1k2

=1其中k1=

y1

x1

=

4

y1

，k2=

4

y2

代入ky²-4y+4b=0求得b和k的關系式，此時使ky²-4y+4b=0有解的k，b有無數組把直線方程整理得k（x+4）=y-4推斷出直線l過定點（-4，4）．

解答：解：（1）拋物線C：y²=4x的焦點為（1，0）
由已知l：y=x-1，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立

y2=4x y=x-1

，消y得x²-6x+1=0，
所以x₁+x₂=6，x₁x₂=1
|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

2

(x2-x1)2

=

2

(x2+x1)2-4x1x2

=8

（2）聯立

y2=4x y=kx+b

，消x得ky²-4y+4b=0（*）（依題意k≠0）
y1+y2=

4

k

，y1y2=

4b

k

，
設直線OA，OB的傾斜角分別為α，β，斜率分別為k₁，k₂，
則α+β=45°，tan（α+β）=tan45°，

k1+k2

1-k1k2

=1
其中k1=

y1

x1

=

4

y1

，k2=

4

y2

，
代入上式整理得y₁y₂-16=4（y₁+y₂）
所以

4b

k

-16=

16

k

，即b=4k+4，
此時，使（*）式有解的k，b有無數組
直線l的方程為y=kx+4k+4，整理得k（x+4）=y-4
消去

x+4=0 y-4=0

，即

x=-4 y=4

時k（x+4）=y-4恒成立，
所以直線l過定點（-4，4）

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合運用基礎知識的能力．