Question

我們?cè)谙旅娴谋砀駜?nèi)填寫數(shù)值，先將第1行的所有空格填上1，再把一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列{a_n}依次填入第一列的空格內(nèi)，然后按照“任意一格的數(shù)是它上面一格的數(shù)與它左邊一格的數(shù)之和”的規(guī)則填寫其他空格．

	第1列	第2列	第3列	…	第n列
第1行	1	1	1	…	1
第2行	q
第3行	q2
…	…
第n行	qn-1

（Ⅰ）設(shè)第2行的數(shù)依次為b₁，b₂，b₃，…，b_n，試用n、q表示b₁+b₂+b₃+…+b_n的值；
（Ⅱ）設(shè)第3列的數(shù)依次為c₁，c₂，c₃，…，c_n，求證：對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)q，總有c_m-1+c_m+1＞2c_m成立（其中2≤m≤n-1且m為偶數(shù)）；
（Ⅲ）能否找到一個(gè)實(shí)數(shù)q的值，使得填完表格后，除第1列外，還有不同的兩列數(shù)的前三項(xiàng)各自依次成等比數(shù)列？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)“任意一格的數(shù)是它上面一格的數(shù)與它左邊一格的數(shù)之和”的規(guī)則，寫出b₁、b₂、b₃的表達(dá)式，從而歸納出b_n=（n-1）+q，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可算出用n、q表示b₁+b₂+b₃+…+b_n的式子；
（2）由題意，根據(jù)c₁、c₂、c₃的表達(dá)式，歸納出c_n用n、q表示的式子．將c_m-1+c_m+1與2c_m作差，化簡(jiǎn)整理得  c_m-1+c_m+1-2c_m=q^m＞0，從而得到對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)q，總有c_m-1+c_m+1＞2c_m成立；
（3）若第k+1列的前三項(xiàng)成等比數(shù)列，則由等比中項(xiàng)的定義列式可解出，同理當(dāng)?shù)趍+1列的前三項(xiàng)成等比數(shù)列時(shí)，有成立．由k≠m可得以上兩個(gè)式子不能同時(shí)成立，因此無論怎樣的q都不能同時(shí)找出除1列外的其他兩列，使它們的前三項(xiàng)都成等比數(shù)列．
解答：解：（Ⅰ）∵b₁=q，b₂=1+q，b₃=1+（1+q）=2+q，…，b_n=（n-1）+q
∴b₁+b₂+…+b_n=1+2+…+（n-1）+nq=…（3分）
（Ⅱ）c₁=1，c₂=1+（1+q）=2+q，c₃=（2+q）+（1+q+q²）=3+2q+q²，…，
c_n=n+（n-1）q+（ n-2）q²+…+2q^n-2+q^n-1．
∵c_m-1+c_m+1-2c_m=[（m-1）+（m-2）q+（m-3）q²+…+2q^m-3+q^m-2]+
[（m+1）+mq+（m-1）q²+…+2q^m-1+q^m]-2[m+（m-1）q+（m-2）q²+…+2q^m-2+q^m-1]=q^m
∴結(jié)合q為非零實(shí)數(shù)且m為偶數(shù)，可得q^m＞0，從而得到c_m-1+c_m+1＞2c_m         …（6分）
（Ⅲ）設(shè)x₁，x₂，x₃和y₁，y₂，y₃分別為第k+1列和第m+1列的前三項(xiàng)，1≤k＜m≤n-1，
則x₁=1，x₂=k+q，x₃=（1+2+…+k）+kq+q²=+kq+q²
若第k+1列的前三項(xiàng)x₁，x₂，x₃是等比數(shù)列，則x₁x₃=x₂²
∴即，解得
同理，若第m+1列的前三項(xiàng)y₁，y₂，y₃是等比數(shù)列，則
∵當(dāng)k≠m時(shí)，
∴無論怎樣的q，都不能同時(shí)找出除1列外的其他兩列，使它們的前三項(xiàng)都成等比數(shù)列  …（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題給出關(guān)于數(shù)列的二維表格，求第二行的第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式并求前n項(xiàng)和，求第三列的通項(xiàng)滿足的條件并討論第k列的前三項(xiàng)成等比的問題．著重考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、不等式的證明與數(shù)列的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．