Question

（本題滿分15分）
已知函數，是的導函數（為自然對數的底數）
（Ⅰ）解關于的不等式：；
（Ⅱ）若有兩個極值點，求實數的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）當時，無解；當時，解集為；當時，解集為 ；（Ⅱ）。

解析試題分析：解：（Ⅰ）          …………………………2分
                           …………………………4分
當時，無解；                                    …………………………5分
當時，解集為；                  …………………………6分
當時，解集為                      …………………………7分
（Ⅱ）方法一：若有兩個極值點，則是方程的兩個根
，顯然,得：        ……………………………9分
令，                       …………………………11分
若時，單調遞減且，                 …………………………12分
若時，當時，，在上遞減，
當時，，在上遞增,……14分
要使有兩個極值點，需滿足在上有兩個不同解，
得:，即：                               ……………………15分
法二：設， 
則是方程的兩個根，則，    …………………………9分
若時，恒成立，單調遞減，方程不可能有兩個根……11分
若時，由，得，
當時，，單調遞增，
當時，  單調遞減      …………………………13分
，得       …………………………15分
考點：一元二次含參不等式的解法。利用導數研究函數的單調性和極值。
點評：（1）解一元二次含參不等式的主要思想是分類討論，常討論的有二次項系數、兩根的大小和判別式∆；（2）第二問方法一的關鍵是把問題轉化為“有兩個不同解”，根據構造函數來求。