Question

（理科）△ABC中，已知∠A=

π

3

，邊BC=2

3

，設∠B=x，△ABC的周長為y．
（1）求函數y=f（x）的解析式，并寫出函數的定義域；
（2）求函數y=f（x）的值域．

Answer 1

（1）△ABC的內角和A+B+C=π，且A=

π

3

，B=x，C＞0，
∴C=

2π

3

-x＞0，0＜x＜

2π

3

．
由正弦定理，知

2 3

sin π 3

=

b

sinx

=

c

sin( 2π 3 -x)

，
即

b=4sinx c=4sin( 2π 3 -x)

所以y=4sinx+4sin(

2π

3

-x)+2

3

(0＜x＜

2π

3

)；

（2）由（1）知，
y=4sinx+4sin(

2π

3

-x)+2

3

(0＜x＜

2π

3

)
=6sinx+2

3

cosx+2

3

=4

3

sin(x+

π

6

)+2

3

(

π

6

＜x+

π

6

＜

5π

6

)，
由正弦函數的圖象知，當

π

6

＜x+

π

6

＜

5π

6

時，有

1

2

＜sin(x+

π

6

)≤1．
于是，4

3

＜4

3

sin(x+

π

6

)+2

3

≤6

3

，
所以，函數y=4sinx+4sin(

2π

3

-x)+2

3

(0＜x＜

2π

3

)的值域是(4

3

，6

3

]．