Question

已知直線y=kx-2k-1與曲線y=

1

2

x2-4

有公共點，則k的取值范圍是（　　）

• A．（-

  1

  2

  ，

  1

  4

  ]∪（0，+∞）
• B．（-

  1

  2

  ，

  1

  4

  ]∪（

  1

  2

  ，+∞）
• C．（-

  1

  2

  ，-

  1

  4

  ）∪（

  1

  2

  ，+∞）
• D．（-

  1

  2

  ，+∞）

Answer 1

分析：易知該直線過定點A（2，-1），作出曲線y=

1

2

x2-4

的草圖，易知該曲線為雙曲線的一部分，結合漸進線方程，利用數形結合可得答案．

解答：解：由y=kx-2k-1得y+1=k（x-2），該直線過定點A（2，-1），
由y=

1

2

x2-4

得

x2

4

-y2=1（y＞0），作出草圖如下：
k_AB=-

1

4

，由圖知，當直線與曲線y=

1

2

x2-4

有公共點時，-

1

2

＜k≤-

1

4

或k＞

1

2

，
所以，k的取值范圍為（-

1

2

，-

1

4

]∪（

1

2

，+∞）．
故選B．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的關系，考查學生數形結合思想及簡單運算能力．