Question

已知f(x)=ax-

1

x

，g（x）=lnx，（x＞0，a∈R是常數(shù)）．
（1）求曲線y=g（x）在點(diǎn)P（1，g（1））處的切線l．
（2）是否存在常數(shù)a，使l也是曲線y=f（x）的一條切線．若存在，求a的值；若不存在，簡要說明理由．
（3）設(shè)F（x）=f（x）-g（x），討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）把x=1代入到g（x）解析式中求出g（1）的值，得到切點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，把x=1代入導(dǎo)函數(shù)求出對應(yīng)導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)即為切線的斜率，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和求出的斜率寫出切線方程即可；
（2）根據(jù)f（x）的解析式求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，因?yàn)橹本�l也為曲線y=f（x）的一條切線，把x=x₀代入到導(dǎo)函數(shù)中求出的函數(shù)值為直線l的斜率即為1，得到一個(gè)關(guān)系式，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入直線l的方程求出縱坐標(biāo)，再把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入到f（x）求出縱坐標(biāo)，兩者相等得到另一個(gè)關(guān)系式，把兩個(gè)關(guān)系式聯(lián)立即可求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)和a的值，所以存在常數(shù)a，使l也是曲線f（x）的切線；
（3）把f（x）和g（x）代入到F（x）=f（x）-g（x）中，求出F（x）的導(dǎo)函數(shù)，利用a的范圍a大于等于

1

4

，a=0，a大于0小于

1

4

，a小于0，四種情況討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)F（x）的增減區(qū)間．

解答：解：（1）g（1）=0，所以P的坐標(biāo)為（1，0），
g′(x)=

1

x

，則切線的斜率k=g′（1）=1，
所以直線l的方程為y-0=1（x-1），化簡得y=x-1；
（2）由f(x)=ax-

1

x

，得f′（x）=a+

1

x2

，
設(shè)y=f（x）在x=x₀處的切線為l，
則有

ax0- 1 x0 =x0-1 a+ 1 x02 =1

，解得

x0=2 a= 3 4

，
即當(dāng)a=

3

4

時(shí)，l是曲線y=f（x）在點(diǎn)Q（2，1）的切線；
（3）F′(x)=a+

1

x2

-

1

x

=a+(

1

x

-

1

2

)2-

1

4

．
當(dāng)a≥

1

4

，a-

1

4

≥0時(shí)，F(xiàn)′（x）≥0，F(xiàn)（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)a=0時(shí)，F′(x)=

1

x2

-

1

x

=

1-x

x2

，F(xiàn)（x）在（0，1]單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減；
當(dāng)0＜a＜

1

4

時(shí)，解F′（x）=0得x1=

1- 1-4a

2a

，x2=

1+ 1-4a

2a

，
F（x）在（0，x₁]和（x₂，+∞）單調(diào)遞增，在（x₁，x₂]單調(diào)遞減；
當(dāng)a＜0時(shí)，解F′（x）=0得x1=

1- 1-4a

2a

＞0，x2=

1+ 1-4a

2a

＜0（x₂舍去），
F（x）在（0，x₁]單調(diào)遞增，在（x₁，+∞）單調(diào)遞減．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的增減性，是一道綜合題．