Question

已知向量

m

=(2cosx，，2sinx)，

n

=(cosx，，

3

cosx)，函數(shù)f(x)=a

m

•

n

+b-a（a、b為常數(shù)且x∈R）．
（Ⅰ） 當(dāng)a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（Ⅱ） 是否存在非零整數(shù)a、b，使得當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，f（x）的值域為[2，8]．若存在，求出a、b的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵向量

m

=(2cosx，2sinx)，

n

=(cosx，

3

cosx)，
 當(dāng)a=1，b=2時，
函數(shù)f(x)=

m

•

n

+1=2cos2x+2

3

sin x•cosx+1=2sin（2x+

π

6

）+2，
當(dāng)2sin（2x+

π

6

）=-1時，f（x）取最小值0
（II）∵f(x)=a

m

•

n

+b-a=2asin（2x+

π

6

）+b
當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，
f（x）的最小值為-a+b，f（x）的最大值為2a+b，
若f（x）的值域為[2，8]．
則-a+b=2，且2a+b=8，
解得a=2，b=4．