Question

（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面
四邊長為1的菱形，, ,
,為的中點，為的中點
（Ⅰ）證明：直線；
（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大小；
（Ⅲ）求點B到平面OCD的距離。

Answer 1

（1）取OB中點E，連接ME，NE

又
 ……………………… 4分
（2）
為異面直線與所成的角（或其補角）
作連接

，
所以 與所成角的大小為        8分
（3）點A和點B到平面OCD的距離相等，連接OP,過點A作
 于點Q，
又 ,線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離
，
，
所以點B到平面OCD的距離為       12分
方法二(向量法)作于點P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標系
,
(1)
設平面OCD的法向量為,則
即 取,解得

             4分
(2)設與所成的角為,
 , 與所成角的大小為         8分
(3)設點B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對值,
由 , 得.所以點B到平面OCD的距離為      12分

略