Question

（2012•廣州一模）設函數f（x）=e^x（e為自然對數的底數），gn(x)=1+x+

x2

2!

+

x3

3!

+…+

xn

n!

（n∈N^*）．
（1）證明：f（x）≥g₁（x）；
（2）當x＞0時，比較f（x）與g_n（x）的大小，并說明理由；
（3）證明：1+(

2

2

)1+(

2

3

)2+(

2

4

)3+…+(

2

n+1

)n≤gn(1)＜e（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）設φ1(x)=f(x)-g1(x)=ex-x-1，可得函數φ₁（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，在x=0處取得唯一極小值，從而可得對任意實數x均有 φ₁（x）≥φ₁（0）=0，即可得到結論；
（2）當x＞0時，f（x）＞g_n（x），用數學歸納法證明，第2步證明的關鍵是證明φ_k+1（x）=f（x）-g_k+1（x）在（0，+∞）上為增函數；
（3）先證對任意正整數n，g_n（1）＜e，再證對任意正整數n，1+(

2

2

)1+(

2

3

)2+(

2

4

)3+…+(

2

n+1

)n≤gn(1)=1+1+

1

2!

+

1

3!

+…+

1

n!

，利用分析法、再利用數學歸納法和基本不等式法可以證明結論．

解答：（1）證明：設φ1(x)=f(x)-g1(x)=ex-x-1，
所以φ1′(x)=ex-1．…（1分）
當x＜0時，φ1′(x)＜0，當x=0時，φ1′(x)=0，當x＞0時，φ1′(x)＞0．
即函數φ₁（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，在x=0處取得唯一極小值，…（2分）
因為φ₁（0）=0，所以對任意實數x均有 φ₁（x）≥φ₁（0）=0．
即f（x）-g₁（x）≥0，
所以f（x）≥g₁（x）．…（3分）
（2）解：當x＞0時，f（x）＞g_n（x）．…（4分）
用數學歸納法證明如下：
①當n=1時，由（1）知f（x）＞g₁（x）．
②假設當n=k（k∈N^*）時，對任意x＞0均有f（x）＞g_k（x），…（5分）
令φ_k（x）=f（x）-g_k（x），φ_k+1（x）=f（x）-g_k+1（x），
因為對任意的正實數x，φk+1′(x)=f′(x)-g′k+1(x)=f(x)-gk(x)，
由歸納假設知，φk+1′(x)=f(x)-gk(x)＞0．…（6分）
即φ_k+1（x）=f（x）-g_k+1（x）在（0，+∞）上為增函數，亦即φ_k+1（x）＞φ_k+1（0），
因為φ_k+1（0）=0，所以φ_k+1（x）＞0．
從而對任意x＞0，有f（x）-g_k+1（x）＞0．
即對任意x＞0，有f（x）＞g_k+1（x）．
這就是說，當n=k+1時，對任意x＞0，也有f（x）＞g_k+1（x）．
由①、②知，當x＞0時，都有f（x）＞g_n（x）．…（8分）
（3）證明：先證對任意正整數n，g_n（1）＜e．
由（2）知，當x＞0時，對任意正整數n，都有f（x）＞g_n（x）．
令x=1，得g_n（1）＜f（1）=e．
所以g_n（1）＜e．…（9分）
再證對任意正整數n，1+(

2

2

)1+(

2

3

)2+(

2

4

)3+…+(

2

n+1

)n≤gn(1)=1+1+

1

2!

+

1

3!

+…+

1

n!

．
要證明上式，只需證明對任意正整數n，不等式(

2

n+1

)n≤

1

n!

成立．
即要證明對任意正整數n，不等式n!≤(

n+1

2

)n（*）成立．…（10分）
以下分別用數學歸納法和基本不等式法證明不等式（*）：
方法1（數學歸納法）：
①當n=1時，1!≤(

1+1

2

)1成立，所以不等式（*）成立．
②假設當n=k（k∈N^*）時，不等式（*）成立，
即k!≤(

k+1

2

)k．…（11分）
則(k+1)!=(k+1)k!≤(k+1)(

k+1

2

)k=2(

k+1

2

)k+1．
因為

( k+2 2 )k+1

( k+1 2 )k+1

=(

k+2

k+1

)k+1=(1+

1

k+1

)k+1=

C

0 k+1

+

C

1 k+1

1

k+1

+…+

C

k+1 k+1

(

1

k+1

)k+1≥2，…（12分）
所以(k+1)!≤2(

k+1

2

)k+1≤(

k+2

2

)k+1．…（13分）
這說明當n=k+1時，不等式（*）也成立．
由①、②知，對任意正整數n，不等式（*）都成立．
綜上可知，對任意正整數n，不等式1+(

2

2

)1+(

2

3

)2+(

2

4

)3+…+(

2

n+1

)n≤gn(1)＜e成立．
…（14分）
方法2（基本不等式法）：
因為

n•1

≤

n+1

2

，…（11分）

(n-1)•2

≤

n+1

2

，
…，

1•n

≤

n+1

2

，
將以上n個不等式相乘，得n!≤(

n+1

2

)n．…（13分）
所以對任意正整數n，不等式（*）都成立．
綜上可知，對任意正整數n，不等式1+(

2

2

)1+(

2

3

)2+(

2

4

)3+…+(

2

n+1

)n≤gn(1)＜e成立．
…（14分）

點評：本小題主要考查函數、導數、不等式、數學歸納法、二項式定理等知識，考查數形結合、化歸與轉化、分類與討論的數學思想方法，以及運算求解能力．