Question

如圖所示，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知BC=AA₁=1，AB=2，P是A₁B₁的中點，則直線PB與平面BB₁D₁D所成角的大小為

arcsin

10

10

．

Answer 1

分析：過點P作PH⊥B₁D₁，交B₁D₁與點H，連接BH，根據題意可得：PH⊥平面BB₁D₁D，可得∠PBH為直線PB與平面BB₁D₁D所成的角．再在△BPH中利用解三角形的有關知識求出答案．

解答：解：過點P作PH⊥B₁D₁，交B₁D₁與點H，連接BH，
由長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的結構特征可得：BB₁⊥PH，
又因為PH⊥B₁D₁，B₁D₁∩BB₁=B₁，
所以PH⊥平面BB₁D₁D，
所以∠PBH為直線PB與平面BB₁D₁D所成的角．
因為AA₁=1，AB=2，P是A₁B₁的中點，
所以BP=

2

；
又因為PH⊥B₁D₁，并且BC=1，AB=2，P是A₁B₁的中點，
所以PH=

5

5

，
所以在△BPH中，sin∠PBH=

PH

BP

=

10

10

．
故答案為：arcsin

10

10

．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握作空間角的過程與步驟，作角時一般是由圖形的結構及題設條件正確作出空間角來，再利用解三角形的有關進行求解，此題也可以根據幾何體的結構特征建立空間直角坐標系利用向量的有關知識解決空間角等問題．