Question

已知f（x）=4

3

sin

x

2

cos

x

2

-4sin2

x

2

+2．
（1）化簡f（x）并求函數的周期
（2）在三角形ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，對定義域內任意x，有f（x）≤f（A），若a=

3

，求

AB

•

AC

的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式及輔助角公式對函數化簡可得，f（x）=4sin（x+

π

6

），利用周期公式可求
（2）由f（x）≤f（A）可知f（A）為f（x）為最大值，從而可得，sin（A+

π

6

）=1，結合A的范圍可求A，由

AB

•

AC

=bccosA=

1

2

bc，結合余弦定理及基本不等式可求最值

解答：解：（1）∵f（x）=2

3

sinx-2(2sin2

x

2

-1)
=2

3

sinx+2cosx=4sin（x+

π

6

）（3分）
∴T=2π（5分）
（2）∵?x∈R，有f（x）≤f（A）
∴f（A）為f（x）為最大值
∴f（A）=4即sin（A+

π

6

）=1
∴0＜A＜π
∴A+

π

6

=

π

2

，A=

π

3

（8分）
∵

AB

•

AC

=bccosA=

1

2

bc
又∵a²=b²+c²-2bccosA，a=

3

∴3=b²+c²-bc≥bc（當b=c時取等號）（10分）
∴bc≤3
∴

AB

•

AC

的最大值

3

2

，此時b=c=

3

（12分）

點評：本題主要考查了三角函數的二倍角公式、輔助角公式在三角函數化簡中的應用，余弦定理及向量的數量積的應用．