Question

已知雙曲

x2

9

-

y2

16

=1，過其右焦點F的直線（斜率存在）交雙曲線于P、Q兩點，PQ的垂直平分線交x軸于點M，則

|MF|

|PQ|

的值為（　　）

• A．

  5

  3

• B．

  5

  6

• C．

  5

  4

• D．

  5

  8

Answer 1

分析：依題意，不妨設過其右焦點F的直線的斜率為1，利用雙曲線的第二定義可求得可求得|PQ|，繼而可求得PQ的垂直平分線方程，令x=0可求得點M的橫坐標，從而使問題解決．

解答：解：∵雙曲線的方程為

x2

9

-

y2

16

=1，
∴其右焦點F（5，0），不妨設過其右焦點F的直線的斜率為1，
依題意，直線PQ的方程為：y=x-5．
由

y=x-5 x2 9 - y2 16 =1

得：7x²+90x-369=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁，x₂為方程7x²+90x-369=0的兩根，
∴x₁+x₂=-

90

7

，y₁+y₂=（x₁-5）+（x₂-5）=x₁+x₂-10=-

160

7

，
∴線段PQ的中點N（-

45

7

，-

80

7

），
∴PQ的垂直平分線方程為y+

80

7

=-（x+

45

7

），
令y=0得：x=-

125

7

．又右焦點F（5，0），
∴|MF|=5+

125

7

=

160

7

．①
設點P在其準線上的射影為P′，點Q在其準線上的射影為Q′，
∵雙曲線的一條漸近線為y=

4

3

x，其斜率k=

4

3

，直線PQ的方程為：y=x-5，其斜率k′=1，
∵k′＜k，
∴直線PQ與雙曲線的兩個交點一個在左支上，另一個在右支上，不妨設點P在左支，點Q在右支，
則由雙曲線的第二定義得：

|PF|

|PP′|

=

|PF|

x1- a2 c

=e=

c

a

=

5

3

，
∴|PF|=

5

3

x₁-

5

3

×

32

5

=

5

3

x₁-3，
同理可得|QF|=3-

5

3

x₂；
∴|PQ|=|QF|-|PF|
=3-

5

3

x₂-（

5

3

x₁-3）
=6-

5

3

（x₁+x₂）
=6-

5

3

×（-

90

7

）
=

192

7

．②
∴

|MF|

|PQ|

=

160 7

192 7

=

5

6

．
故選B．

點評：本題考查雙曲線的第二定義的應用，考查直線與圓錐曲線的相交問題，考查韋達定理的應用與直線方程的求法，綜合性強，難度大，屬于難題．