Question

如圖，已知在△ABC中，BC=2，以BC為直徑的圓分別交AB，AC于點M，N，MC與NB交于點G，若

BM

•

BC

=2，

CN

•

BC

=1，則∠BGC的度數為（　　）

A．135

B．120°

C．150

D．105°

Answer 1

分析：由條件求得故M在BC的中垂線上，且∠CBM=45°=∠BCM，N在BC上的投影（設為D）到C的距離為 

1

2

，利用勾股定理求得ND，可得tan∠CBN的值，從而求得∠CBN 的值．再利用三角形的內角和公式求得∠BGC的值．

解答：解：∵

BM

•

BC

=2，
∴BM•BCcos∠CBM=2即BM•cos∠CBM=1，故M在BC的中垂線上，
∴∠CBM=45°=∠BCM，
∵

CN

•

BC

=1，
∴CN•cos（180°-∠NCB）=-

1

2

，
∴N在BC上的投影（設為D）到C的距離為

1

2

，
設圓心為O，連接ON，
∴CD=OD=

1

2

，則 OD²+ND²=ON²=1，解得 ND=

3

2

，
∴tan∠CBN=

ND

BD

=

3 2

1+ 1 2

=

3

3

，
∴∠CBN=30°，
∴∠BGC=180°-∠CBN-∠BCM=180°-30°-45°=105°，
故選D．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的定義，直角三角形中的邊角關系，三角形的內角和公式，同時考查了分析問題的能力，屬于中檔題．