Question

如圖，設(shè)F是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)，直線l為左準(zhǔn)線，直線l與x軸交于P點(diǎn)，MN為橢圓的長(zhǎng)軸，已知

PM

=2

MF

，且|

MN

|=8．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P作直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓的長(zhǎng)軸求得橢圓方程中的a，利用橢圓的定義和

PM

=2

MF

求得離心率，進(jìn)而求得c，則b的值可得，最后求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)出AB的方程，代入橢圓方程整理后利用韋達(dá)定理表示出y_A+y_B和y_Ay_B，進(jìn)而根據(jù)S_△ABF=S_△PBF-S_△PAF|表示出△ABF面積利用基本不等式求得面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由題意

|MN|

=8，得2a=8，∴a=4．
又

PM

=2

MF

，∴e=

1

2

∴c=2，b²=a²-c²=12．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
（Ⅱ）設(shè)過(guò)P點(diǎn)的直線AB方程為x=my-8，
代入橢圓方程整理得（3m²+4）y²-48my+144=0，yA+yB=

48m

3m2+4

，yAyB=

144

3m2+4

．
而S△ABF=S△PBF-S△PAF=

1

2

|PF|•|yB-yA|=

72 m2-4

3m2+4

．
即S△ABF=

72 m2-4

3(m2-4)+16

=

72

3 m2-4 + 16 m2-4

≤

72

2 3×16

=3

3

．
當(dāng)且僅當(dāng)3

m2-4

=

16

m2-4

，即m=±

2 21

3

時(shí)等號(hào)成立，且滿足△＞0．
∴△ABF面積的最大值是3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與橢圓的關(guān)系．解題最后注意對(duì)所求的m的值代入判別式進(jìn)行驗(yàn)證．保證答題的嚴(yán)密性．