Question

已知常數m＞0，向量

a

=（0，1），向量

b

=（m，0），經過點A（m，0），以λ

a

+

b

為方向向量的直線與經過點B（-m，0），以λ

b

-4

a

為方向向量的直線交于點P，其中λ∈R．
（1）求點P的軌跡E；
（2）若m=2

5

，F（4，0），問是否存在實數k使得以Q（k，0）為圓心，|QF|為半徑的圓與軌跡E在x軸上方交于M、N兩點，并且|MF|+|NF|=3

5

．若存在求出k的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）由λ

a

+

b

=（m，λ），知直線AP方程為y=

λ

m

(x-m)．由λ

b

-4

a

=（λm，-4），知直線NP方程為y=-

4

λm

(x+m)；所以

x2

m2

+

y2

4

=1，由此結合m的取值情況能夠求出點P的軌跡E．
（2）假設存在實數k滿足要求，此時有圓Q：（x-k）²+y²=（4-k）²；橢圓E：

x2

20

+

y2

4

=1；其右焦點為F（4，0 ），且e=

2

5

5

．由圓Q與橢圓E的方程聯立得2y²-5kx+20k-30=0，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=

5

2

k．△=25k²-4×2（20k-30），由此能求出存在實數k=1滿足要求．

解答：解：（1）∵λ

a

+

b

=（ m，λ），
∴直線AP方程為y=

λ

m

(x-m)  ①
又λ

b

-4

a

=（λm，-4），∴直線NP方程為y=-

4

λm

(x+m) ②
由①、②消去λ得 y2=-

4

m2

(x2- m2 )，即 

x2

m2

+

y2

4

=1．
故當m=2時，軌跡E是以（0，0）為圓心，以2為半徑的圓：x²+y²=4；
當m＞2時，軌跡E是以原點為中心，以(±

m2-4

，0)為焦點的橢圓：
當0＜m＜2時，軌跡E是以中心為原點，焦點為(0，±

4-m2

)的橢圓．
（2）假設存在實數k滿足要求，此時有圓Q：（x-k）²+y²=（4-k）²；
橢圓E：

x2

20

+

y2

4

=1；其右焦點為F（4，0 ），且e=

2

5

5

．
由圓Q與橢圓E的方程聯立得2y²-5kx+20k-30=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=

5

2

k  ③
△=25k²-4×2（20k-30），
又|MF|=2

5

-

2

5

5

x1，|NF|=2

5

-

2

5

5

x2，而|MF|+|NF|=3

5

；
∴2

5

-

2

5

5

x1+2

5

-

2

5

5

x2=3

5

，
由此可得x1+x2=

5

2

  ④
由③、④得k=1，且此時△＞0．故存在實數k=1滿足要求．

點評：本題考查軌跡方程的求法和判斷k是否存在．解題時要注意分類討論思想和圓錐曲線性質的靈活運用．