Question

如圖，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的各棱長都相等，M、E分別是和AB₁的中點，點F在BC上且滿足BF∶FC=1∶3.

(1)求證：BB₁∥平面EFM；
(2)求四面體的體積.

Answer 1

（1）見解析；（2）．

試題分析：（1）要證線面平行，一般是在平面內找（證）一條直線與待證直線平行，然后由線面平行的判定定理可得結論，本題中平行線很容易找到，因為都是相應線段上的中點，因此顯然有∥．（2）三棱錐的體積公式是，由于三梭錐的四個面都是三角形，故我們可以恰當地選取底面，以使得高易求（即熟知的換底法），本題中三梭錐，我們就可以以為底，而這時高就是，而高的垂直的證明可由正三梭錐的定義證得.
試題解析：(1)證明：連結EM、MF，∵M、E分別是正三棱柱的棱AB和AB₁的中點，
∴BB₁∥ME，                                   3分
又BB₁平面EFM，∴BB₁∥平面EFM.              6分
（2）正三棱柱中，由（1），所以，             8分
根據條件得出，所以，10分
又，因此.  12分