Question

如圖，在多面體ABDEC中，AE⊥平面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=AE=1，BD=2，F為CD中點．
（I）求證：EF∥平面ABC；
（II）求證：EF⊥平面BCD；
（III）求多面體ABDEC的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取BC中點G點，連接AG，FG，則四邊形EFGA為平行四邊形，于是EF∥AG，利用線面平行的判定定理即可證得EF∥平面ABC；
（Ⅱ）易證AG⊥平面BCD，而EF∥AG，從而由線面垂直的性質可得EF⊥平面BCD；
（Ⅲ）過C作CH⊥AB，則CH⊥平面ABDE易求CH=

3

2

，而V_C-ABDE=

1

3

×S_{四邊形ABDE}×CH，計算即可．

解答：證明：（Ⅰ）取BC中點G點，連接AG，FG，
∵F，G分別為DC，BC中點，
∴FG

∥ .

.

1

2

DB

∥ .

.

EA，
∴四邊形EFGA為平行四邊形，
∴EF∥AG．
又∵EF?平面ABC，AG?平面ABC，
∴EF∥平面ABC，…．4分
（2）∵AE⊥面ABC，BD∥AE，
∴DB⊥平面ABC，
又∵DB?平面BCD，
∴平面ABC⊥平面BCD，
又∵G為 BC中點且AC=AB=BC，
∴AG⊥BC，
∴AG⊥平面BCD，
又∵EF∥AG，
∴EF⊥平面BCD …．8分
（3）過C作CH⊥AB，則CH⊥平面ABDE且CH=

3

2

，
∴V_C-ABDE=

1

3

×S_{四邊形ABDE}×CH
=

1

3

×

(1+2)

2

×1×

3

2

=

3

4

…12分．

點評：本題考查直線與平面平行的判定與直線與平面垂直的判定，掌握直線與平面平行與垂直的判定定理是解決問題之關鍵，考查分析與運算、準確書寫與完整表達的能力，屬于中檔題．