Question

以下命題：
①對于任意向量

a

、

b

，都有|

a

•

b

|≥

a

•

b

成立；
②若首項a₁＜0，S₉=S₁₄，則前n項和S_n取得最小值時n值為11；
③已知a，b，b+a成等差數列，a，b，ab成等比數列，且

1

2

＜log_m（a+b）＜1，則實數m的取值范圍是（6，36）；
④在銳角三角形ABC中，若A=2B，則

b

a

的取值范圍是（

2

，

3

），
其中正確命題是

①③

（填正確命題的番號）

Answer 1

分析：利用所學的知識逐個判定命題是否正確，從而選出正確的命題．

解答：解：①當

a

、

b

夾角小于等于90°時，

a

•

b

≥0，此時|

a

•

b

|=

a

•

b

，
當

a

、

b

夾角大于90°時，

a

•

b

＜0，此時|

a

•

b

|=-

a

•

b

＞

a

•

b

，故①正確；
②∵S₉=S₁₄，∴s₁₄-s₉=a₁₀+a₁₁+a₁₂+a₁₃+a₁₄=0，
又a₁＜0，{a_n}不是等差數列，不能得出S_n取得最小值時n=11，②不正確；
③∵a，b，b+a成等差數列，且a，b，ab成等比數列，∴

2b=a+(a+b) b2=a2b

，解得a=2，b=4，∴a+b=6；
∴由

1

2

＜log_m（a+b）＜1，知

1

2

＜log_m6＜1，∴m∈（6，36），③正確；
④銳角△ABC中，若A=2B，則

π

6

＜B＜

π

4

（因為B小于

π

6

時，C將為鈍角；B大于

π

4

時，A將為鈍角）；
∴

2

2

＜cosB＜

3

2

，∴

3

3

＜

1

2cosB

＜

2

2

；
由sinA=sin2B，得sinA=2sinBcosB，∴

b

a

=

sinB

sinA

=

1

2cosB

，即

b

a

的取值范圍是（

3

3

，

2

2

），∴④不正確；
故答案為：①③

點評：本題通過判斷命題的真假考查了平面向量的數量積、數列的綜合應用以及解三角形的知識，是易錯題．