Question

已知P為圓x²+y²=4上任意一點，Q為點P在x軸上的射影，M為線段PQ的中點，
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）過點E（0，2）的直線l與曲線C交于A、B兩點，若點O在以AB為直徑的圓上或圓外（O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍。

Answer 1

解：（1）設M（x，y），則P（x，2y），
∵點P在圓x²+y²=4上，
∴x²+（2y）²=4，
所以點M的軌跡C的方程為+y²=1；
（2）依題意，顯然l的斜率存在，設l：y=kx+2，
由方程組，消y得（1+4k²）x²+16kx+12=0，
∵直線l與C有兩交點，
∴△=（16k）²-4×12·（1+4k²）＞0，解得k²＞，
且x_A+x_B=，x_A·x_B=；
又∠AOB為直角或銳角，x_A·x_B+y_A·y_B≥0，
即x_A·x_B+（kx_A+2）（kx_B+2）≥0，
（1+k²）x_A·x_B+2k（x_A+x_B）+4≥0，
所以（1+k²）-2k+4≥0，解得k²≤4，
故直線l的斜率k的取值范圍是k∈。