Question

【題目】已知函數．

(1)求證：；

(2)用表示中的最大值，記，討論函數零點的個數．

Answer 1

【答案】（1）見解析，（2）見解析

【解析】

(1) 設求出函數的最小值即可；

(2) 對x和a的范圍進行討論，得出f（x），g（x）在（0，+∞）上的單調性，利用單調性及最值判斷f（x），g（x）的零點個數，從而得出h（x）的零點個數．

（1）證明：設，定義域為，

則.

當時，；當時，，

故在內是減函數，在內是增函數，

所以是的極小值點，也是的最小值點，

所以，所以

（2）解：函數的定義域為，

，

當時，；當時，，

所以在內是減函數，在內是增函數，

所以是的極小值點，也是的最小值點，

即

若，則，

當時，；當時，；

當時，.

所以，于是只有一個零點.

當，則當時，，此時，

當時，，，此時

所以沒有零點.

當，則當時，根據（1）可知，

而，所以

又因為，所以在上有一個零點，

從而一定存在，使得，

即，所以.

當時，，

所以，從而，

于是有兩個零點和1.

故當時，有兩個零點.

綜上，當時，有一個零點，當時，沒有零點，當時，有兩個零點.