Question

已知(－)ⁿ的展開式中，前三項系數的絕對值依次成等差數列．(1)證明：展開式中沒有常數項；

(2)求展開式中所有有理項．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析     (2) T₁＝x⁴，T₅＝x，T₉＝x^－2.

【解析】(1)本小題利用展開式的通項，只要說明x的系數不可能等于零即可.在具體證明時可采用反證法.

(2)根據展開式的通項公式，讓x的系數為整數，看有哪些項即可

依題意，前三項系數的絕對值是1， ()， ()²，

且2·＝1＋ ()²，即n²－9n＋8＝0，∴n＝8(n＝1舍去)，

∴展開式的第k＋1項為 ()^8－k(－)^k

＝(－)^k·x·x－＝(－1)^k··x.

 (1)證明：若第k＋1項為常數項，

當且僅當＝0，即3k＝16，∵k∈Z，∴這不可能，∴展開式中沒有常數項．

(2)若第k＋1項為有理項，當且僅當為整數，∵0≤k≤8，k∈Z，∴k＝0,4,8，

即展開式中的有理項共有三項，它們是：T₁＝x⁴，T₅＝x，T₉＝x^－2.