Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c，
（1）若a＞b＞c且f（1）=0，證明：f（x）的圖象與x軸有兩個相異交點；
（2）若x₁，x₂，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），證明：方程f(x)=

f(x 1)+f(x 2)

2

必有一實根在區間 （x₁，x₂） 內；
（3）在（1）的條件下，設兩交點為A、B，求線段AB長的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）要證明f（x）的圖象與x軸有兩個相異交點，只要△=b²-4ac=（a+c）²-4ac＞0即可
（2）令g（x）=f（x）-

f(x1)+f(x2)

2

，則由g（x₁）=f（x₁）-

f(x1)+f(x2)

2

=

f(x1)-f(x2)

2

，g（x₂）=f（x₂）-

f(x1)+f(x2)

2

=-

f(x1)-f(x2)

2

及g（x）的圖象是連續可證
（3）結合方程的根與系數關系可得AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

b2 a2 - 4c a

=1-

c

a

結合已知可求

解答：解：（1）證明：由a＞b＞c可得a＞0，c＜0由f（1）=0可得a+b+c=0
∵△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²＞0
∴f（x）的圖象與x軸有兩個相異交點
（2）令g（x）=f（x）-

f(x1)+f(x2)

2

則g（x₁）=f（x₁）-

f(x1)+f(x2)

2

=

f(x1)-f(x2)

2

g（x₂）=f（x₂）-

f(x1)+f(x2)

2

=-

f(x1)-f(x2)

2

又g（x）的圖象是連續的
∴方程f（x）=

f(x1)+f(x2)

2

即g（x）=0必有一實根在區間（x₁，x₂）內．
（3）設f（x）=0兩根為x₁，x₂
∵a＞b＞c，b=-a-c
∴a＞-a-c＞c又a＞0
∴

c

a

＜-1-

c

a

＜1
∴-2＜

c

a

＜-

1

2

又AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

b2 a2 - 4c a

=1-

c

a

∴

3

2

＜AB＜3
∴AB長的取值范圍為（

3

2

，3）

點評：本題主要考查了二次函數的性質的應用，函數與方程的相互轉化，直線與曲線相交的弦長公式的應用，解題的關鍵是靈活應用二次函數的性質