Question

已知

a

+

b

+

c

=

0

，|

a

|=3，|

b

|=5，|

c

|=7
（1）求＜

a

，

b

＞；
（2）是否存在實數k，使k

a

+

b

與

a

-2

b

互相垂直？

Answer 1

分析：（1）由題意可得

a

2+

b

2+2

a

•

b

=49，解得

a

•

b

的值，從而求得cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

的值，可得＜

a

，

b

＞的值．
（2）由于k

a

+

b

與

a

-2

b

互相垂直 等價于 （k

a

+

b

）•（

a

-2

b

）=0，由此解得k的值．

解答：解：（1）由于

a

+

b

+

c

=

0

，|

a

+

b

|=|

c

|=7，∴

a

2+

b

2+2

a

•

b

=49，解得 

a

•

b

=

15

2

．
故有cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

=

1

2

．
再由＜

a

，

b

＞∈[0，π]，可得＜

a

，

b

＞=

π

3

．
（2）由于k

a

+

b

與

a

-2

b

互相垂直 等價于 （k

a

+

b

）•（

a

-2

b

）=k

a

2-2

b

2+（1-2k）

a

•

b

=9k-50+（1-2k）•

15

2

=0，
解得 k=-

85

12

．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的定義，兩個向量垂直的性質，屬于中檔題．