Question

已知P是△ABC所在平面α外一點，且PA，PB，PC與平面α所成的角相等，則點P在平面α上的射影一定是△ABC（　　）

A．內心

B．外心

C．垂心

D．重心

Answer 1

分析：由題設知PO⊥平面ABC．∠PAO=∠PBO=∠PCO．由PO=PO，∠PAO=∠PBO=∠PCO，∠POA=∠POB=∠POC=90°，知△AOP≌△BOP≌△COP，所以AO=BO=CO，即O是ABC的外心．

解答：證明：連接OA，OB，OC，得
∵P為△ABC所在平面外一點，且在平面ABC上的射影為O
∴PO⊥平面ABC
∴PO⊥AO，PO⊥BO，PO⊥CO
∵PA、PB、PC與平面ABC所成的角相等
∴∠PAO=∠PBO=∠PCO
∵PO=PO，∠PAO=∠PBO=∠PCO，∠POA=∠POB=∠POC=90°
∴△AOP≌△BOP≌△COP
∴AO=BO=CO
∴O是ABC的外心
故選B．

點評：三角形的內心是三條角平分線的交點，且這點到三邊的距離相等；三角形的外心是三邊中垂線的交點，且這點到三角形三頂點的距離相等；三角形的重心是三條中線的交點，且這點到頂點的距離等于這點到對邊距離的二倍；三角形的垂心是三條高的交點．