Question

若橢圓和雙曲線具有相同的焦點F₁，F₂，離心率分別為e₁，e₂，P是兩曲線的一個公共點，且滿足PF₁⊥PF₂，則

1

e 21

+

1

e 22

的值為（　　）

A．4

B．2

C．1

D． 1 2

Answer 1

由題意設焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實軸長為2m，不妨令P在雙曲線的右支上
由雙曲線的定義|PF₁|-|PF₂|=2m①，由橢圓的定義|PF₁|+|PF₂|=2a②
又PF₁⊥PF₂，∴∠F₁PF₂=90°，∴|PF₁|²+|PF₂|²=4c²   ③
①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=2a²+2m²④
由③④得a²+m²=2c²，即

1

c2 a2

+

1

c2 m2

=1，
∴

1

e 21

+

1

e 22

=2
故選B．