Question

已知曲線E上任意一點P到兩個定點F₁(－，0)和F₂(，0)的距離之和為4．
(1)求曲線E的方程；
(2)設過點(0，－2)的直線l與曲線E交于C、D兩點，且·＝0(O為坐標原點)，求直線l的方程．

Answer 1

（1）＋y²＝1
（2）y＝2x－2或y＝－2x－2

(1)根據橢圓的定義，可知動點P的軌跡為橢圓，其中a＝2，c＝，∴b＝＝1．
∴曲線E的方程為＋y²＝1．
(2)當直線l的斜率不存在時，不滿足題意，當直線l的斜率存在時，設l的方程為y＝kx－2，
設C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)，
∵·＝0，∴x₁x₂＋y₁y₂＝0，
由方程組，得(1＋4k²)x²－16kx＋12＝0，
∴x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，
又∵y₁·y₂＝(kx₁－2)(kx₂－2)＝k²x₁x₂－2k(x₁＋x₂)＋4，
∴x₁x₂＋y₁y₂＝(1＋k²)x₁x₂－2k(x₁＋x₂)＋4＝－＋4＝0，
解得k²＝4，即k＝2或k＝－2，
所以，直線l的方程是y＝2x－2或y＝－2x－2．