Question

【題目】已知函數.

（1）若，求曲線在點處的切線；

（2）若函數在其定義域內為增函數，求正實數的取值范圍；

（3）設函數，若在上至少存在一點，使得成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1） 當時，，求導，由求出切線斜率及點，即可求出切線方程；（2）由在定義域區間上恒成立得，利用基本不等式求出函數的最大值，即可求出的取值范圍；（3）構造函數，由在區間上，函數至少存在一點使，即由在區間上，求出的范圍即可.

試題解析：已知函數.

（1），，

，， 故切線方程為：.

（2），由在定義域內為增函數，所以在上恒成立，∴即，對恒成立，設，，

易知，在上單調遞增，在上單調遞減，則，

∴，即.

（3）設函數，，

則原問題在上至少存在一點，使得

，

當時，，則在上單調遞增，，舍；

當時，，

∵，∴，，，則，舍；當時，，

則在上單調遞增，，整理得，

綜上，.