Question

（2012•豐臺區二模）在平面直角坐標系中，若點A，B同時滿足：①點A，B都在函數y=f（x）圖象上；②點A，B關于原點對稱，則稱點對（A，B）是函數y=f（x）的一個“姐妹點對”（規定點對（A，B）與點對（B，A）是同一個“姐妹點對”）．那么函數f(x)=

x-4， x≥0 x2-2x， x＜0

的“姐妹點對”的個數為

1

；當函數g（x）=a^x-x-a有“姐妹點對”時，a的取值范圍是

a＞1

．

Answer 1

分析：第一空：欲求f（x）的“姐妹點對”，只須作出函數y=x-4（x≥0）的圖象關于原點對稱的圖象，觀察它與函數y=x²-2x（x＜0）交點個數即可．
第二空：構建函數y=a^x（a＞0，且a≠1）和函數y=x+a，函數y=a^x（a＞0，且a≠1）關于原點對稱的函數為y=-a^-x，函數f（x）=a^x-x-a（a＞0且a≠1）只有一個“姐妹點對”，可轉化為函數y=x+a與y=-a^-x只有一個交點，由此可得結論．

解答：解：根據題意可知，欲求f（x）的“姐妹點對”，只須作出函數y=x-4（x≥0）的圖象關于原點對稱的圖象，觀察它與函數y=x²-2x（x＜0）交點個數即可．
函數y=x-4（x≥0）關于原點對稱的函數為y=x+4（x＜0）
在同一坐標系作出函數的圖象，觀察圖象可得：它們的交點個數是：1．
即f（x）的“姐妹點對”有：1個．
故答案為：1
當函數g（x）=a^x-x-a有“姐妹點對”時：構建函數y=a^x（a＞0，且a≠1）和函數y=x+a，函數y=a^x（a＞0，且a≠1）關于原點對稱的函數為y=-a^-x
∵函數f（x）=a^x-x-a（a＞0且a≠1）只有一個“姐妹點對”，
∴函數y=x+a與y=a^-x只有一個交點
∵a＞1時，y=a^-x單調減，與函數y=x+a圖象只有一個交點；
0＜a＜1時，y=a^-x單調減，與函數y=x+a圖象沒有交點；
此時有a＞1；
故答案為a＞1．

點評：本題考查新定義，考查函數的對稱性，以及數形結合的思想，解答的關鍵在于對“姐妹點對”的正確理解，合理地利用圖象法解決．考查學生分析轉化問題的能力，屬于中檔題．