Question

已知點A(0，-2)、B(0,4)，動點P(x，y)滿足．

(Ⅰ)求動點P的軌跡方程；

(Ⅱ)設(Ⅰ)中所求軌跡方程與直線y=x+2交于C、D兩點．求證：OC⊥OD(O為原點)．

Answer 1

解：(Ⅰ)由題意可得

=(-x，-2-y)·(-x，4-y)=y²-8，

化簡得  x²=2y．

(Ⅱ)將y=x+2代入x²=2y中，得x²=2(x+2)．

整理得  x²-2x-4=0．

可知，△=4+16=20＞0．

x₁+x₂=2，x_lx₂=-4．

∵y₁=x₁+2，y₂=x₂+2．

∴y₁·y₂=(x_l+2)(x₂+2)=x₁x₂+2(x₁+x₂)+4

=4

∴k_OC·k_OD===-1

∴OC⊥OD．