Question

已知函數(shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)都有成立，且當(dāng)時(shí)，,.
（1）求的值；
（2）判斷在上的單調(diào)性，并證明；
（3）若對(duì)于任意給定的正實(shí)數(shù)，總能找到一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，，則稱函數(shù)在處連續(xù)。試證明：在處連續(xù)．

Answer 1

（1）；（2）在上單調(diào)遞增; （3）詳見試題解析．

解析試題分析：（1）利用求，可得；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義：設(shè)，則，，從而在上單調(diào)遞增; （3）利用賦值法先求．要證，對(duì)，當(dāng)時(shí)，取，則當(dāng),即時(shí)，由單增可得，即；當(dāng)時(shí)，必，使得，取，利用證明．
試題解析：（1） ；
（2）設(shè)，則，，在上單調(diào)遞增；
（3）令，得，．對(duì)任意，，，，又，，要證，對(duì)，當(dāng)時(shí)，取，則當(dāng)，即時(shí)，由單增可得，即；當(dāng)時(shí)，必，使得，取，則當(dāng)，即時(shí)，有，而，，．
綜上，在處連續(xù)．
考點(diǎn)：1．賦值法求抽象函數(shù)的函數(shù)值；2．抽血函數(shù)的單調(diào)性；3．抽象函數(shù)的連續(xù)性．