Question

(本小題滿分12分)

已知三棱柱中，各棱長均為2，平面⊥平　　　　　　　　　　　面，．

（1）求證：⊥平面；

（2）求二面角的大小；

 

Answer 1

【答案】

（1）略（2）

【解析】(I)證明：取A₁C₁的中點M，連CM、B₁M

∵三棱柱ABC－A₁B₁C₁,∴各棱長均相等,∠A₁AC＝60°

∴△A₁CC₁與△A₁B₁C₁都是等邊三角形

∴

∵平面ABC⊥平面AA₁C₁C，　

∴平面A₁B₁C₁⊥平面AA₁C₁C

∴B₁M⊥平面AA₁C₁C，由三垂線定理得：B₁C⊥A₁C₁

又∵四邊形BCC₁B₁是菱形，∴B₁C⊥BC₁　　

而

∴B₁C⊥平面A₁BC₁

（II）法一：連AB₁與A₁B交于G點，設B₁C與BC₁交于H點，連GH，則GH

取AC的中點N，連BN，A₁N，可證AC⊥A₁B　∴GH⊥A₁B

又∵四邊形AA₁B₁B是菱形　　∴AB₁⊥A₁B

∴∠B₁GH就是所求二面角的平面角；

法二：由(I)知，平面，

又四邊形是菱形，所以，由三垂線定理的逆定理得，，所以就是二面角B₁－A₁B－C₁的平面角

由（1）知A₁C₁⊥B₁C　　∴GH⊥B₁C

設A₁C₁＝a，則

∴即所求二面角的大小為