Question

在xoy平面上有一系列點(diǎn)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）…，P_n（x_n，y_n），…，（n∈N*），點(diǎn)P_n在函數(shù)y=x²（x≥0）的圖象上，以點(diǎn)P_n為圓心的圓P_n與x軸都相切，且圓P_n與圓P_n+1又彼此外切．若x₁=1，且x_n+1＜x_nx₁=1．
（I）求數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)圓P_n的面積為S_n，Tn=

S1

+

S2

+…+

Sn

，求證：Tn＜

3 2

2

．

Answer 1

分析：（I）由題意圓P_n與P_n+1彼此外切，利用兩圓外切等價(jià)于兩圓心距等于圓的半徑，化簡(jiǎn)出數(shù)列{x_n}的遞推關(guān)系，進(jìn)而得到數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式．
（II）由于圓P_n的面積為S_n利用圓的面積公式求出，又有題中T_n的式子特點(diǎn)，利用裂項(xiàng)相消法，求出T_n，在利用簡(jiǎn)單的去一項(xiàng)即可得證．

解答：解：（I）圓P_n與P_n+1彼此外切，令r_n為圓P_n的半徑，
∴|P_nP_n+1|=r_n+r_n+1即

(xn-xn+1)2+(yn-yn+1)2

=yn+yn+1
兩邊平方并化簡(jiǎn)得（x_n-x_n+1）²=4y_ny_n+1
由題意得，圓P_n的半徑r_n=y_n=x_n²，（x_n-x_n+1）²=4x_n²x_n+1²
∵x_n＞x_n+1＞0；∴x_n-x_n+1=2x_nx_n+1，即

1

xn+1

-

1

xn

=2(n∈N+)
∴數(shù)列{

1

xn

}是以

1

x1

=1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
所以

1

xn

=1+（n-1）×2=2n-1，即xn=

1

2n-1

（II）Sn=π

r

n 2

=π

y

n 2

=π

x

n 4

=

π

(2n-1)4

，
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">Tn=

S1

+

S2

+…+

Sn

=

x

[1+

1

32

+…+

1

(2n-1)2

]
≤

π

(1+

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-3)(2n-1)

)

=

π

{1+

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-3

-

1

2n-1

)]}=

π

[1+

1

2

(1-

1

2n-1

)]=

3 π

2

-

π

2(2n-1)

＜

3 π

2

所以，Tn＜

3 π

2

點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查了兩元相外切的等價(jià)條件，還考查了有數(shù)列的遞推關(guān)系求其通項(xiàng)公式，及裂項(xiàng)相消的求和方法，還考查了去一項(xiàng)進(jìn)行了簡(jiǎn)單的放縮．