Question

函數f（x）=是定義在（-1，1）的奇函數，且f（）=．
（1）確定f（x）的解析式；
（2）判斷函數在（-1，1）上的單調性；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

【答案】分析：（1）若奇函數在x=0處有定義，則f（0）=0，代入即可得b，再由f（）=代入即可得a值
（2）因為函數為奇函數，故只需判斷x＞0時函數的單調性即可，利用單調性定義即可證明
（3）利用函數的單調性和奇偶性將不等式中的f脫去，等價轉化為關于t的不等式組，解之即可
解答：解：（1）∵函數f（x）=是定義在（-1，1）的奇函數
∴f（0）=0，即得b=0
∵f（）=．
∴，即得a=1
∴f（x）=
（2）設任意x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂
則f（x₁）-f（x₂）=-
=
=＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴函數f（x）在（0，1）上為增函數
∵函數f（x）是定義在（-1，1）的奇函數
∴函數f（x）在（-1，1）上為增函數
（3）不等式f（t-1）+f（t）＜0
?f（t-1）＜-f（t）
?f（t-1）＜f（-t）  （根據奇函數的性質）
?  （根據定義域和單調性）
?0＜t＜
點評：本題綜合考查了函數的奇偶性和函數的單調性，奇函數的性質，函數單調性的判斷方法，利用函數性質解不等式