Question

A．（不等式選講選做題）如果存在實數x使不等式|x+1|-|x-2|＜k成立，則實數k的取值范圍是

 

．
B．（幾何證明選講選做題）如圖，圓O是△ABC的外接圓，過點C的切線交AB的延長線于點D，CD=2

7

，AB=BC=3，則AC的長為

 

．
C．（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲線
ρ=2sinθ與ρcosθ=-1的交點的極坐標為

 

．

Answer 1

分析：A、由題意知，k 只要大于|x+1|-|x-2|的最小值 即可，問題化為求|x+1|-|x-2|的最小值．
B、由圓的切線長定理 求得 BD 的長、及AD的長，△DBC 中，由余弦定理求出cos∠CDB 的值，△ACD中，由余弦定理求得 AC的長．
C、ρ=2sinθ與ρcosθ=-1的交點 即 x²+y²=2y 與 x=-1  的交點（-1，1），再把交點的坐標化為極坐標．

解答：解：A、因為存在實數x使不等式|x+1|-|x-2|＜k成立，而|x+1|-|x-2|表示數軸上的x到-1的距離減去
它到2的距離，故|x+1|-|x-2|的最大值是3，最小值為-3，∴k＞-3．
B、由圓的切線長定理得 (2

7

)2=BD•（BD+3），∴BD=4，∴AD=7，
△DBC 中，由余弦定理得  3²=4²+(2

7

)2-2×4×2

7

×cos∠CDB，
∴cos∠CDB=

5 7

16

，
△ACD中，由余弦定理得 AC²=(2

7

)2+7²-2×2

7

×7cos∠CDB=

63

4

，
∴AC的長為

3 7

2

．
C、ρ=2sinθ與ρcosθ=-1的交點 即 x²+y²=2y 與 x=-1  的交點（-1，1），
此點的極坐標為（

2

，

3π

4

 ）．
故答案為  k＞-3、

3 7

2

、（

2

，

3π

4

 ）．

點評：本題考查絕對值的意義，圓的線長定理，余弦定理得應用，普通方程與極坐標方程的互化，體現了轉化的數學思想．