Question

已知數列{log2(an-1)}(n∈N+)為等差數列，且a₁=3，a₂=5，則

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

=（　　）

• A．2-(

  1

  2

  )n
• B．

  3

  2

  -(

  1

  2

  )n
• C．1-(

  1

  2

  )n
• D．

  1

  2

  -(

  1

  2

  )n

Answer 1

分析：令b_n=log₂（a_n-1），（n∈N⁺），依題意可求得b_n=n，于是可得a_n=2ⁿ+1，從而可求得

1

an+1-an

=

1

2n

，利用等比數列的求和公式即可得到答案．

解答：解：令b_n=log₂（a_n-1），（n∈N⁺），依題意{b_n}為等差數列，
∵a₁=3，a₂=5，
∴b₁=log₂（3-1）=1，b₂=log₂（5-1）=2，
∵{b_n}為等差數列，設其公差為d，則d=1，
∴b_n=n，
∴a_n=2ⁿ+1，
∴

1

an+1-an

=

1

(2n+1+1)-(2n+1)

=

1

2n

，
顯然{

1

2n

}是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數列，
∴

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+

1

a4-a3

+…+

1

an+1-an

=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=

1 2 (1-( 1 2 )n)

1- 1 2

=1-(

1

2

)n．
故選C．

點評：本題考查數列的求和，根據題意求得a_n=2ⁿ+1是關鍵，考查等比數列的求和公式的應用，屬于中檔題．