Question

【題目】已知拋物線E：y2=4x，設A、B是拋物線E上分別位于x軸兩側的兩個動點，且 = （其中O為坐標原點）
（Ⅰ）求證：直線AB必過定點，并求出該定點Q的坐標；
（Ⅱ）過點Q作AB的垂線與拋物線交于G、D兩點，求四邊形AGBD面積的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設直線AB的方程為：x=my+t，A（ ，y1）、B（ ，y2），
聯立 得y2﹣4my﹣4t=0，則y1+y2=4m，與y1y2=﹣4t，
由 得： y1y2=﹣18或y1y2=2（舍）．
即 ，所以直線AB過定點 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 = ，
同理得， = ，
則四邊形AGBD面積
= ，
令 ，
則 是對稱軸為μ＜0，開口向上，函數是關于μ的增函數，當μ=2時函數取得最小值．
故Smin=88．
當且僅當m=1時取到最小值88
【解析】（Ⅰ）設出直線AB的方程，聯立直線與拋物線方程，利用數量積為0，求出k，化簡直線方程推出直線必過定點，并求出該定點Q的坐標；（Ⅱ）利用韋達定理以及弦長公式，表示出三角形的面積，通過換元法，利用函數的單調性求解最小值即可．