Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E、F分別是A₁C₁、BC的中點，AC=4，CB=2，AA₁=，若平面ABE⊥平面BB₁C₁C
（I）FC₁∥平面ABE
（II）求證AB⊥BC
（III）求三棱錐C₁-BEF的體積．

Answer 1

【答案】分析：（I）取AB中點D，連接ED，DF，證明FC₁∥ED，可得FC₁∥平面ABE
（II）取B₁C₁的中點G，連接EG，GB，過C作CH⊥GB于H，證明AB⊥平面BB₁C₁C，可得AB⊥BC；
（III）由AB⊥平面BB₁C₁C，可得EG⊥平面BB₁C₁C，即EG即為三棱錐C₁-BEF的底面C₁BE上的高，求現底面面積和高，代入棱錐的體積公式，可得三棱錐C₁-BEF的體積
解答：證明：（I）證明：取AB中點D，連接ED，DF，則DF∥EC₁，且DF=EC₁，
∴FC₁∥ED
∵FC₁?平面ABE，ED?平面ABE
∴FC₁∥平面ABE
（II）取B₁C₁的中點G，連接EG，GB，
則EG∥AB，GB是平面ABE與平面BB₁C₁C的交線
過C作CH⊥GB于H，則∵平面ABE⊥平面BB₁C₁C
∴CH⊥平面ABE，∴CH⊥AB
∵CC₁⊥AB，CC₁∩CH=C
∴AB⊥平面BB₁C₁C
∵BC?平面BB₁C₁C
∴AB⊥BC
解：（III）∵AB⊥BC
∴AB=2
∴EG=
∵AB⊥平面BB₁C₁C
∴EG⊥平面BB₁C₁C
∴=1
∴==
點評：本題考查線面垂直，考查線面平行，考查面面角，棱錐的體積，熟練掌握空間線面關系的判定，性質及幾何特征和相互轉化是解答的關鍵．