Question

(本小題滿分14分)

已知函數f（x）=，g（x）=alnx，aR。

若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)相交，且在交點處有相同的切線，求a的值及該切線的方程；

設函數h(x)=f(x)- g(x),當h(x)存在最小之時，求其最小值（a）的解析式；

對（2）中的（a），證明：當a（0，+）時， （a）1.

Answer 1

解 （1）f’(x)=,g’(x)=(x>0),

由已知得  =alnx，

=，     解德a=,x=e²,

兩條曲線交點的坐標為（e²,e）   切線的斜率為k=f’(e^{2)= ,}

切線的方程為y-e=(x- e₂).

（2）由條件知

Ⅰ 當a.>0時，令h (x)=0,解得x=,

所以當0 < x< 時 h (x)<0，h(x)在（0，）上遞減；

當x>時，h (x)>0，h(x)在（0，）上遞增。

所以x>是h(x)在（0， +∞ ）上的唯一極致點，且是極小值點，從而也是h(x)的最小值點。

所以Φ （a）=h()= 2a-aln=2

Ⅱ當a  ≤   0時，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0，+∞）遞增，無最小值。

故 h(x) 的最小值Φ （a）的解析式為2a(1-ln2a) (a>o)

（3）由（2）知Φ （a）=2a(1-ln2a)

則 Φ ¹（a ）=-2ln2a，令Φ ¹（a ）=0 解得 a =1/2

當  0<a<1/2時，Φ ¹（a ）>0，所以Φ （a ）  在(0,1/2) 上遞增

當  a>1/2  時， Φ ¹（a ）<0，所以Φ（a ） 在 (1/2, +∞)上遞減。

所以Φ（a ）在(0, +∞)處取得極大值Φ（1/2 ）=1

因為Φ（a ）在(0, +∞)上有且只有一個極致點，所以Φ（1/2）=1也是Φ（a）的最大值

所當a屬于 (0, +∞)時，總有Φ（a）  ≤  1