Question

設函數f（x）=x³-3tx+m（x∈R，m和t為常數）是奇函數．
（Ⅰ）求實數m的值和函數f（x）的圖象與x軸的交點坐標；
（Ⅱ）求f（x）（x∈[0，1]）的最大值F（t）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據f（x）為R上的奇函數，則f（0）=0，可求出m的值，令f（x）=0，討論t的取值范圍，分別求出方程的解，即為函數圖象與x軸的交點橫坐標，從而求出所求；
（Ⅱ）討論t的取值范圍，利用導數符合判定函數的單調性，從而求出函數在[0，1]上的最值，從而求出f（x）（x∈[0，1]）的最大值F（t）．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）為R上的奇函數，
∴f（0）=0，則m=0，
設f（x）=x³-3tx=x（x²-3t）=0，
①當t＜0時，上述方程只有一個實數根x=0，
∴f（x）與x軸的交點坐標為（0，0）；
②當t=0時，上述方程有三個相等實數根x₁=x₂=x₃=0，
∴f（x）與x軸的交點坐標為（0，0）；
③當t＞0時，上述方程的解為x₁=0，x_2，3=±

3t

，
∴f（x）與x軸的交點坐標分別為（0，0），（

3t

，0），（-

3t

，0）．
綜合①②③，當t＜0時，f（x）與x軸的交點坐標為（0，0），
當t=0時，f（x）與x軸的交點坐標為（0，0），
當t＞0時，f（x）與x軸的交點坐標分別為（0，0），（

3t

，0），（-

3t

，0）．
（Ⅱ）∵f（x）=x³-3tx，
∴f′（x）=3（x²-t），x∈[0，1]，
①當t≤0時，f′（x）≥0，則f（x）在[0，1]上為增函數，
∴f（x）在x∈[0，1]上的最大值為F（t）=f（1）=1-3t；
②當t＞0時，f′（x）=3（x+

t

）（x-

t

），
令f′（x）=0，則x₁=-

t

，x₂=

t

，
令f′（x）＞0，則x＜-

t

或x＞

t

，令f′（x）＜0，則-

t

＜x＜

t

，
列表如下：

x	（-∞，- t ）	- t	（- t ， t ）	t	（ t ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

又∵x∈[0，1]，
∴當1≤

3t

，即t≥

1

3

時，f（x）在x∈[0，1]上的最大值為F（t）=f（0）=0，
當

3t

＜1，即0＜t＜

1

3

時，f（x）在x∈[0，1]上的最大值為F（t）=f（1）=1-3t，
綜上所述，F(t)=

1-3t，t＜ 1 3 0，t≥ 1 3

．

點評：本題主要考查了奇函數的性質，以及利用導數研究函數的最值，同時考查了分類討論的思想和運算求解的能力，屬于中檔題．