Question

某學校舉辦“有獎答題”活動，每位選手最多答10道題，每道題對應1份獎品，每份獎品價值相同．若選手答對一道題，則得到該題對應的獎品．答對一道題之后可選擇放棄答題或繼續答題，若選擇放棄答題，則得到前面答對題目所累積的獎品；若選擇繼續答題，一旦答錯，則前面答對題目所累積的獎品將全部送給現場觀眾，結束答題．假設某選手答對每道題的概率均為

2

3

，且各題之間答對與否互不影響．已知該選手已經答對前6道題．
（Ⅰ）如果該選手選擇繼續答題，并在最后4道題中，在每道題答對后都選擇繼續答題．
（ⅰ）求該選手第8題答錯的概率；
（ⅱ）記該選手所獲得的獎品份數為ξ，寫出隨機變量ξ的所有可能取值并求ξ的數學期望Eξ；
（Ⅱ）如果你是該選手，你是選擇繼續答題還是放棄答題？若繼續答題你將答到第幾題？請用概率或統計的知識給出一個合理的解釋．

Answer 1

分析：（1）選手答對每道題的概率均為

2

3

，且各題之間答對與否互不影響，本題是一個相互獨立事件同時發生的概率．根據選手已經答對前6道題，選手第8題答錯包含第8道題答錯且第7道題答錯．
（2）可以計算一下若選擇繼續答第7題，則答完該題后獲得的獎品份數η的數學期望，得到的期望小于6，選擇放棄答題．

解答：解：（1）∵選手答對每道題的概率均為

2

3

，且各題之間答對與否互不影響，
∴本題是一個相互獨立事件同時發生的概率．
（i）記“選手答對第i題”為事件A_i，則P（A_i）=

2

3

（i=1、2、3…10）
P（A）=P（A7

.

A8

）=P（A₇）P（

.

A8

）=

2

3

×

1

3

=

2

9

，
該選手第8題答錯的概率為

2

9

．
（ii）ξ的所有可能值為0，10
P（ξ=10）=P（A₇A₈A₉A₁₀）=

2

3

×

2

3

×

2

3

×

2

3

=

16

81

P（ξ=0）=1-P（ξ=10）=1-

16

81

=

65

81

∴Eξ=0×

65

81

+10×

16

81

=

160

81

（2）如果我是選手，那么答對前6個題后放棄答題．理由如下：
若選擇繼續答第7題，則答完該題后獲得的獎品份數η的數學期望
Eη=0×

1

3

+7×

2

3

=

14

3

＜6，
∴選擇放棄答題．

點評：概率教學的核心問題是讓學生了解隨機現象與概率的意義，加強與實際生活的聯系，以科學的態度評價身邊的一些隨機現象．