Question

（本小題滿分14分）

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，若以F₂為圓心，b-c為半徑作圓F₂，過橢圓上一點(diǎn)P作此圓的切線，切點(diǎn)為T，且的最小值不小于。

（1）證明：橢圓上的點(diǎn)到F₂的最短距離為；

（2）求橢圓的離心率e的取值范圍；

（3）設(shè)橢圓的短半軸長(zhǎng)為1，圓F₂與軸的右交點(diǎn)為Q，過點(diǎn)Q作斜率為的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若OA⊥OB，求直線被圓F₂截得的弦長(zhǎng)S的最大值。

Answer 1

解：（1）假設(shè)橢圓上的任一點(diǎn)P（x_0,,y₀）

則︱PF₂︱²=（x₀-c）²+y₀²由橢圓方程

易得︱PF₂︱²=x₀²-2cx₀+c²+b²,顯然當(dāng) x₀=a時(shí),

︱PF₂︱最小值為a-c.。。。。。。。。。。。。4分

（2）依題意知

當(dāng)且僅當(dāng)取得最小值時(shí)，取最小值

∴,又因?yàn)?i>b-c>0,

得。。。。8分

（3）依題意Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線的方程為，代入橢圓方程得

設(shè)，則，，。。。。。。。。。。。10分

又OA⊥OB，∴，

∴，即，直線的方程為

圓心到直線的距離

由圖象可知

 。。。。。。。。。。。。12分

 由得∴。。。。。。。。。。14分