Question

如圖，在體積為1的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱AA₁⊥底面ABC，AC⊥AB，AC=AA₁=1，P為線段AB上的動點．
（1）求證：CA₁⊥C₁P；
（2）求CA₁與平面AB₁C₁所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中側棱AA₁⊥底面ABC，AC⊥AB，AC=AA₁=1，結合直三棱錐的性質及正方形的性質，可得AP⊥CA₁，CA₁⊥AC₁，由線面垂直的判定定理可得CA₁⊥平面AC₁P，再由線面垂直的性質，可得CA₁⊥C₁P
（2）由已知中三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積為1，可得AB=2，以AA₁，A₁B₁，A₁C₁分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，分別求出平面AB₁C₁的法向量和直線CA₁的方向向量，代入向量夾角公式，即可得到CA₁與平面AB₁C₁所成的角的正弦值．
解答：證明：（1）∵側棱AA₁⊥底面ABC
AA₁⊥AB，又AC⊥AB，
∴AB⊥平面AA₁C₁C，即AP⊥平面AA₁C₁C，
∴AP⊥CA₁，又AC=AA₁=1，所以四邊形AA₁C₁C是正方形，
∴CA₁⊥AC₁，從而CA₁⊥平面AC₁P，
又C₁P?平面AC₁P
∴CA₁⊥C₁P
解：（2）因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積為1，即V=S_△ABC×AA₁=AB×1×1=1，
∴AB=2、
以AA₁，A₁B₁，A₁C₁分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則由題設條件得
A（1，0，0），B₁（0，2，0），C₁（0，0，1），C（1，0，1），
=（1，0，-1），=（1，-2，0），設平面AB₁C₁的法向量=（x，y，z），則
，
令x=1，則平面AB₁C₁的法向量=（1，，1），又=（1，0，-1），
所以cos＜•＞=，
即CA₁與平面AB₁C₁所成的角的正弦值為
點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，直線與平面垂直的判定與性質，其中（1）的關鍵是熟練掌握空間直線與直線，直線與平面垂直的相互轉化，（2）的關鍵是建立坐標系，求出直線的方向向量和平面的法向量，將線面夾角問題轉化為空間向量夾角問題．