Question

已知函數（為自然對數的底數）

（Ⅰ）若曲線在點處的切線平行于軸，求的值；

（Ⅱ）求函數的極值；

（Ⅲ）當時，若直線與曲線沒有公共點，求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

 （Ⅰ）（Ⅱ）當時，函數無極小值；

當，在處取得極小值，無極大值（Ⅲ）的最大值為

【解析】（Ⅰ）由，得．

又曲線在點處的切線平行于軸，

得，即，解得．

（Ⅱ），

①當時，，為上的增函數，所以函數無極值．

②當時，令，得，．

，；，．

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

故在處取得極小值，且極小值為，無極大值．

綜上，當時，函數無極小值；

當，在處取得極小值，無極大值．

（Ⅲ）當時，

令，

則直線：與曲線沒有公共點，

等價于方程在上沒有實數解．

假設，此時，，

又函數的圖象連續不斷，由零點存在定理，可知在上至少有一解，與“方程在上沒有實數解”矛盾，故．

又時，，知方程在上沒有實數解．

所以的最大值為．

解法二：

（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．

（Ⅲ）當時，．

直線：與曲線沒有公共點，

等價于關于的方程在上沒有實數解，即關于的方程：

              （*）

在上沒有實數解．

①當時，方程（*）可化為，在上沒有實數解．

②當時，方程（*）化為．

令，則有．

令，得，

當變化時，的變化情況如下表：

當時，，同時當趨于時，趨于，

從而的取值范圍為．

所以當時，方程（*）無實數解，

解得的取值范圍是．

綜上，得的最大值為．

此題的一二問考查的是最基本的函數切線問題及對極值含參情況的討論，所以導數公式必需牢記，對于參數的討論找到一個合理的分類標準做到不重不漏即可，可這往往又是學生最容易出現問題的地方.而第三問對于曲線是否無交點要懂得轉化成函數零點或方程根的個數問題處理，這也是常規處理含參就比較麻煩，平時要多加練習.

【考點定位】 本小題主要考查函數與導數，兩數的單調性、極值、零點等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解 能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、分類與整合思想、化歸與轉化思想．屬綜合要求比較高的難題.