Question

已知f(x)=x+

b

x

-3， x∈[1，2]
（1） b=2時，求f（x）的值域；
（2） b≥2時，f（x）的最大值為M，最小值為m，且滿足：M-m≥4，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出f（x），然后根據函數f（x）在[1，2]上的單調性求出f（x）的最小值，將端點代入比較求出函數的最大值，從而求出函數f（x）的值域；
（2）分類討論：①當2≤b＜4時，②b≥4時，研究函數f（x）在[1，2]上單調上的單調性求出f（x）的最大值為M，最小值為m，最后根據M-m≥4，求出b的取值范圍．

解答：解：（1）當b=2時，f(x)=x+

2

x

-3，x∈[1，2]．
因為f（x）在[1，

2

]上單調遞減，在[

2

，2]上單調遞增，（2分）
所以f（x）的最小值為f(

2

)=2

2

-3．（4分）
又因為f（1）=f（2）=0，（5分）
所以f（x）的值域為[2

2

-3，0]．（6分）
（2）（ⅰ）當2≤b＜4時，因為f（x）在[1，

b

]上單調遞減，在[

b

，2]上單調遞增．
所以M=max{f(1)，f(2)}=b-2， m=f(

b

)=2

b

-3．M-m=b-2

b

+1≥4，得(

b

-1)2≥4．
即b≥9，與2≤b＜4矛盾．（11分）
（ⅱ）b≥4時，f（x）在[1，2]上單調遞減．
M=b-2，m=

b

2

-1，M-m=

b

2

-1≥4，即b≥10．（16分）

點評：本題主要考查了函數的最值及其幾何意義，以及利用單調性求函數的值域，同時考查了分類討論的思想，屬于中檔題．